Álgebra lineal para ingeniería (UIW Bajío 2026)

Apuntes de clase

uiw-linalg.pdf (última actualización 16.10.2026)

Tareas

1. Sistemas de ecuaciones lineales (14 de agosto; soluciones)
2. Matrices (21 de agosto; soluciones)
3. Matrices inversas (28 de agosto; soluciones)
4. Matrices y sistemas de ecuaciones. Determinantes (4 de septiembre; soluciones)
5. Fórmulas para determinantes (18 de septiembre; soluciones)
6. Independencia lineal (25 de septiembre; soluciones)
7. Subespacios y bases (2 de octubre; soluciones)
8. Aplicaciones lineales (9 de octubre), para entregar 16.10.2026
9. Núcleo, imagen y la eliminación gaussiana (16 de octubre), para entregar 23.10.2026

Guías para los exámenes

• Preparación para el parcial 1 (11 de septiembre; más problemas)
• Preparación para el parcial 2 (16 de octubre)

Transparencias

• Expansión del determinante por cofactores (18 de septiembre)
• Transformaciones lineales del plano (16 de octubre)

Temario

Los temas marcados con (*) no se van a evaluar en los parciales, pero pueden aparecer en las tareas semanales.

1. Sistemas de ecuaciones lineales
   • Ecuaciones lineales en dos variables
   • Ecuaciones lineales en \(n\) variables
   • Eliminación gaussiana
2. Matrices
   • Matrices
   • Matriz nula \(O\), matriz identidad \(I\)
   • Operaciones algebraicas con matrices: suma \(A+B\) y producto \(AB\); producto por un escalar \(\alpha A\)
   • Matrices diagonales y triangulares
   • Matriz transpuesta \(A^t\)
   • Matriz inversa \(A^{-1}\)
   • Eliminación de Gauss–Jordan para calcular \(A^{-1}\)
   • (*) Operaciones elementales y matrices elementales
   • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales: \( A\,\mathbf{x} = \mathbf{b} \)
3. Determinantes
   • Propiedades caraterísticas: linealidad por filas, alternación (cambio de signo al intercambiar filas), normalización \( \det I = 1 \)
   • Determinante de una matriz triangular
   • Cálculo con operaciones elementales (eliminación)
   • \( A \) es invertible si y solo si \( \det A \ne 0 \)
   • \( \det(AB) = \det A \cdot \det B \)
   • \( \det(A^t) = \det A \)
   • (*) Fórmula en términos de \( n! \) permutaciones \( \det A = \sum_\sigma \mathop{\mathrm{sgn}}\sigma \, a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)}\cdots a_{n, \sigma(n)} \)
   • (*) Expansión con cofactores:
     por fila \( \det A = \sum_j a_{ij}\,C_{ij} = \sum_j a_{ij}\,(-1)^{i+j}\,\det A_{ij} \)
     por columna \( \det A = \sum_i a_{ij}\,C_{ij} = \sum_i a_{ij}\,(-1)^{i+j}\,\det A_{ij} \)
   • (*) Matriz adjunta \( \mathop{\mathrm{adj}} A = (C_{ji}) \) y su relación con la inversa \( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \, \mathop{\mathrm{adj}} A \)
   • (*) Regla de Cramer \( x_i = \frac{\det A_i}{\det A} \)
4. Espacios vectoriales y dependencia lineal
   • Axiomas de espacio vectorial
   • Dependencia lineal
   • Subespacios
   • Bases
   • Dimensión
5. Aplicaciones lineales
   • Aplicación lineal \( f\colon U \to V \)
   • El núcleo \( \mathop{\mathrm{ker}} f \) y la imagen \( \mathop{\mathrm{im}} f \), aplicaciones inyectivas y sobreyectivas
   • \( \dim \mathop{\mathrm{im}} f = \dim U - \dim \mathop{\mathrm{ker}} f \)
   • Aplicaciones invertibles, aplicación inversa \( f^{-1}\colon V\to U \)
   • Matriz de \( m\times n \) asociada a una aplicación lineal \( f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \)
   • Transformaciones del plano \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \)
   • Cálculo de \(\mathrm{ker} f \) e \(\mathrm{im} f \) con eliminación
6. Valores y vectores propios

Exámenes

• Parcial 1: 18 de septiembre, unidades 1, 2, 3 (ecuaciones lineales, matrices, determinantes).
• Parcial 2: 30 de octubre, unidades 4, 5 (espacios vectoriales, dependencia lineal, aplicaciones lineales) y tareas 6, 7, 8, 9.

Bibliografía

• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra.
  Libro de texto denso, contiene muchas ideas interesantes, explica la intuición que hay detrás de las cosas.
• David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications.
  Otro libro estándar y sólido.
• Stanley L. Grossman, Álgebra Lineal.
  Más elemental y contiene numerosos ejemplos resueltos, pero en varios lugares presenta argumentos un poco tediosos que a veces contribuyen a generar confusión.

Recursos útiles

• PARI/GP para los cálculos con matrices (versión en el navegador)

Cómo usar PARI/GP

• Matrices: [1, 2; 3, 4] para \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)
• Operaciones aritméticas con matrices: A+B, A*B, A^n, c*A
• Matrices inversas: A^-1
• Solución de sistemas de ecuaciones: matsolve(A, b) donde A es la matriz de coeficientes, b es la columna del lado derecho.
• Determinante: matdet(A)
• Matriz adjunta: matadjoint(A)
• Vector fila: [1, 2, 3]
• Base de núcleo: matker(A)
• Rango: matrank(A)

Contacto

Dr. Alexey Beshenov (beshenov@uiwtx.edu)

Actualizado 16 de octubre de 2026